Fonctions logarithmes
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Tout d'abord, Jonathan, souviens-toi que la fonction logarithmique est la réciproque de la fonction exponentielle.
On peut tout aussi bien dire que fonction exponentielle est la réciproque de la fonction logarithmique.
1) Lois des logarithmes
3) Fonction de base :
|
si 0<c<1
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si c>1
|
Sa règle est f(x) = logc(x) avec c strictement positif et différent de 1.
Son graphique est une courbe.
La droite d'équation x =0 est asymptote à la courbe représentant la fonction logarithmique
Son domaine est ]0 +¥ [
Son codomaine est R
Elle a un zéro : 1
Elle n'a pas d'extremum.
Variation : si 0<c<1 elle est décroissante sur ] -¥ 0]
et si c>1 elle est croissante sur son domaine.
Signe : elle est positive sur tout son domaine.
Réciproque : la réciproque d'une fonction exponentielle est une fonction.
4) Fonctions logarithmes transformées:
Comme pour les autres fonctions, une fonction exponentielle de base peut subir des transformations,
déterminées par les paramètres a, b, h et k.
a: étirement vertical et réflexion selon l'axe des abscisses si négatif ;
b: étirement horizontal et réflexion selon l'axe des ordonnées si négatif ;
h: translation horizontale ;
k: translation verticale.
Les règles des fonctions exponentielles transformées sont de la forme
g(x) = a . logcb(x - h) + k
Cette forme est à 4 paramètres ; on peut la simplifier à 3 paramètres.
g(x) = a.(logcb + logc(x-h)) + k
g(x)= a.logcb + a.logc(x-h) + k
g(x)= a.logc(x-h) + k avec un nouveau k = ancien k + alogcb
Ces fonctions transformées ont un zéro mais qui n'est pas forcement 1. On le trouve en faisant f(x)=0.
Leur signe change donc de part et d'autre du zéro .
L'asymptote a pour règle x = h.
5) Résolution d'équations :
Les fonctions logarithmiques possèdent un zéro ; on le trouve en isolant l'argument du logarithme,
puis l'inconnu.
( dans log(x+3), l'argument est x+3 ).
- AVANT TOUT, il est nécessaire de déterminer dans quel ensemble on recherche les solutions.
Autrement dit, y a-t-il des restrictions ?
- Ensuite, on utilisera les lois des logarithmes pour transformer les équations ; l'objectif étant d "arriver" à un équation simple .
- Ensuite, on vérifiera que les solutions trouvées respectent les restrictions.
Exemples
On doit avoir x+1 > 0.
On cherche donc des solutions dans l'ensemble ]-1 +¥ [
- Résoudre ln ( x - 1) + ln (x + 6) = ln (10 -x)
On doit avoir :
- x - 1 > 0 donc x > 1
- x + 6 > 0 donc x > -6
- 10 - x > 0 donc x < 10
Ces trois inégalités devant être vérifiées, on recherche donc les solutions dans ]1,10[.
ln ( x - 1) + ln (x + 6) = ln (10 -x)
ln ( x - 1).(x + 6) = ln (10 -x)
On utilise le principe suivant :
Si log c x = log cy alors x = y
( x - 1).(x + 6)= 10 -x
x2 + 6x - 16 = 0
x = -8 ou x = 2.
Mais -8 n'appartient à ]1,10[.
Seul 2 est solution de l'équation.
log
2 2
x = log
2 9
x = log
2 9
La loi du
changement de base permet de lui donner une valeur approchée. (calculatrice !)
On obtient alors x= ln9/ln2.
Autre façon de résoudre cette équation :
On utilise le principe suivant : Si x = y alors log c x = log cy
2x = 9
log (2x) = log 9
x.log 2 = log 9
x = log 2/log 9.
- Résoudre 2( x + 2 ) = 45x
ln ( 2 ( x + 2 ) ) = ln( 45x)
( x + 2 ).ln (2) = 5x ln (4)
x ln(2)+ 2 ln(2) = 5x ln (4)
x ln(2) - 5x ln (4) = - 2 ln(2)
x ( ln(2) - 5 ln (4))= - 2 ln(2)
x= - 2 ln(2) / ( ln(2) - 5 ln (4))
