Fonctions exponentielles

Notation exponentielle

Lois des exposants

Fonction de base

Influence des paramètres sur la fonction de base

Résolution d'équations

1) Notation exponentielle

Base ^exposant = puissance
2 ³ = 8 se lit : la base 2 exposant 3 est égale à la puissance 8.

Pour tout a ¹ 0,

2) Lois des exposants

si 0<c<1

si c>1

Sa règle est f(x) = c^x avec c strictement positif et différent de 1.
Son graphique est une courbe.
La droite d'équation y =0 est asymptote à la courbe représentant la fonction exponentielle
Son domaine est R
Son codomaine est ]0 +¥ [
Elle n'a pas de zéro.
Elle n'a pas d'extremum.
Variation : si 0<c<1 elle est décroissante sur ] -¥ 0] et si c>1 elle est croissante sur son domaine.
La croissance d'une fonction de base (ou même d'une fonction transformée ) se caractérise par la régularité suivante:

Exemple :

x	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6	6.5	7
f(x)	2.25	2.7557	3.375	4.1335	5.0625	6.2003	7.5938	9.3004	11.391	13.951	…

La base de cette fonction est donc 1.5.

Signe : elle est positive sur tout son domaine.

Réciproque : la réciproque d'une fonction exponentielle est une fonction.

Comme pour les autres fonctions, une fonction exponentielle de base peut subir des transformations, déterminées par les paramètres a, b, h et k.

Les règles des fonctions exponentielles transformées sont de la forme g(x) = a . c^{b (x - h)} + k

La propriété suivante des exposants permet d’obtenir une forme simplifiée pour la fonction exponentielle . ( en prenant un nouveau c.)     La propriété suivante des exposants permet encore d’obtenir une forme simplifiée . ( en prenant encore un nouveau c.) On obtient une forme canonique à deux paramètres :

Ces fonctions transformées peuvent avoir un zéro (impossible pour les fonctions de base). Leur signe change donc de part et d'autre du zéro lorsqu'il existe. De même, elles ne passent plus nécessairement à (0,1).

5) Résolution d'équations :
Certaines fonctions exponentielles possèdent un zéro ; on le trouve en mettant l'expression de la fonction et en isolant l'inconnu. Comme l'inconnu est un exposant, il faudra, pour résoudre l'équation, se ramener à une égalité entre 2 expressions exponentielles de même base pour ensuite utiliser le principe suivant:
Si c ^m = c ⁿ alors m = n
Autrement dit : lorsque 2 expressions exponentielles égales ont la même base alors les exposants sont égaux.

Exemples :

Mettre les 2 expressions dans la même base n'est pas toujours facile.
Comment faire alors ?
On utilise la fonction réciproque f(x) = log_c(x)