LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Quittons le triangle rectangle pour une autre figure : le cercle.

valeurs de cosinus et sinus de certains angles.

Connaissant le sinus d'un angle, je déduis le sinus de trois autres angles !

Une figure clé : le triangle rectangle.

Les rapports trigonométriques sont des rapports de côtés dans le triangle rectangle. Ces rapports sont constants dans des triangles semblables.

On définit six rapports trigonométriques.

Les autres rapports sont les inverses des précédents.

En utilisant les formules du cosinus et du sinus, on peut définir la tangente :

et donc,

Jonathan, n’oublie pas que tu travailles dans un triangle rectangle :

Le cosinus d’un des angles aigus est égal au sinus de l’autre angle aigu.

donc cos B = sin A.

De la même façon, on obtient :

sin B = b/c = cos A

et on déduit :

tan B = cotan A
séc B = coséc A
coséc B = séc A

Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires. On obtient donc:

sin A = cos (90° - A)
cos A = sin (90° - A)
tan A = cotan (90°- A)
séc A = coséc (90°- A)
coséc A = séc (90°- A)

Quittons le triangle rectangle pour une autre figure :le cercle.

Une nouvelle unité de mesure d'un angle : le radian

Un angle au centre de 1 radian signifie qu'on intercepte sur le cercle de rayon r , un arc dont la longueur est égale à la mesure du rayon.

Pour passer d’un système de mesures d’angles à un autre (de degrés à radians par exemple), on utilise la proportionnalité :

Les côtés d’un angle au centre de q radians interceptent un angle dont la longueur L est :

L=q. r

Angles trigonométriques.

Un angle trigonométrique est angle obtenu en faisant subir une rotation de centre O (origine du plan cartésien) à un point initialement sur le demi-axe horizontal positif.

Attention !

Un angle peut être positif ou négatif.

angle positif : on tourne comme sur un
rond-point en conduite automobile. (Sauf en Angleterre ….). On dit parfois aussi que l’on tourne dans le sens anti-horaire.

angle négatif : C’est le contraire ! (sens horaire)

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon de 1 unité. C’est un outil permettant de mettre en relation la position (coordonnées x et y) d'un point M sur un cercle avec l'angle trigonométrique obtenu ou la longueur de l'arc intercepté.

A l’angle q radians correspond l’arc de mesure q et un point M(q)

Sin q = ordonnée de M.

Cos q = abscisse de M.

Les coordonnées du point M après avoir parcouru un arc d'une longueur de q unités sur le cercle sont
(cos q, sin q ). Ces deux définitions permettront de définir les fonctions trigonométriques.

Les valeurs des cosinus et sinus de certains angles sont à connaître :

Connaissant les coordonnées d’un point,
par symétrie,
on déduit facilement les coordonnées de 3 autres points.

	Cos(p – q) = – cos(q) et sin(p – q) = sin (q)
	Cos(p + q) = – cos(q) et sin(p + q) = –sin (q)
	Cos( –q) = cos (q) et sin(–q) = –sin (q)